尺度函数族

众所周知,小波变换的双正交基就来自与小波函数和尺度函数,而他们通过scale和平移来得到的小波函数族和尺度函数族表示了不同小波(尺度)函数的分辨率,下面来用公式回顾一下:

小波函数定义

尺度函数分辨率沿拓

事实上,尺度函数族中的尺度 j 决定着不同的时间分辨率

而实际上(证明请看参考资料),高时间分辨率的尺度函数必然可以代表低时间分辨率的尺度函数,如上图的三角尺度函数可以表示为:

多分辨分析(MRA)方程

尺度函数的MRA方程

有了上面的铺垫,这里就比较简单了,因为我们知道,低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达,所以我们可以看出,高分辨率信号所张成的空间必然包含低分辨率张成的空间:

小波函数的MRA方程

讲小波函数的MRA方程之前,我们不妨来回顾一下IDWT的定义:

自然而然,我们可以知道小波函数的MRA方程的递归意义是更为重要的,所以有:

所以多级的大家也会求了吧...

可以简单地看出,信号经过小波函数系数(尺度函数系数)之后还需要经过一个抽取的过程,这个的话自己看看小波函数和尺度函数的定义式就可以了

离散小波变换的重构算法

这里是相似的,而且由于懒的原因我没有做重构,所以也直接放图:

可以简单地看出,信号经过小波函数系数(尺度函数系数)之后还需要经过一个内插的过程,这个的话自己看看小波函数和尺度函数的定义式就可以了.

需要注意的是,可以先抽取再滤波,但是不能先滤波后内插,见上图,(常识)

小波变换(DWT)的FPGA实现

众所周知,这次我们要实现的算法框图是这个:

多相结构模型

本来我是直接按照算法流程实现了DWT,然后讲抽取和滤波对调了位置(为了提高系统的性能)

后来从网上仅有的资料中查看到别人做了多相分解,后面我想了想,如果不用多相结构的话,相当于原信号的先经过了一次抽取,也是极大地浪费了信号. 又有:

所以我们将信号和滤波器系数都进行奇偶分解,分别进行滤波,得到整体FPGA框图:

接下来我们简单地理一下过程

3. 以db4小波为示例,其他小波只需要改改滤波器和matalb就可以了
4. 仅实现一级分解,多级分解只要自己认真看博客就知道怎么做了

信号奇偶分解:

这个模块比较简单,但是想设计好需要一点小心思,思路就是做一个二分频时钟,上升沿将数据写入偶数部分,下降沿将数据写入奇数部分,这里不给出代码

matlab获取滤波器系数

代码很简单,先生成,再量化:

wn='db4';[Ld,Hd,Lr,Hr] = wfilters(wn);k=0:length(Ld)-1; subplot(221);stem(k,Ld); title('低通分解滤波器Ld'); subplot(222);stem(k,Lr); title('低通重建滤波器Lr'); subplot(223);stem(k,Hd); title('高通分解滤波器Hd'); subplot(224);stem(k,Hd); title('高通重建滤波器Hr');qua_ld = round(Ld*2^8);qua_hd = round(Hd*2^8);qua_lr = round(Lr*2^8);qua_hr = round(Hr*2^8);disp(qua_ld);disp(qua_hd);disp(qua_lr);disp(qua_hr);

FPGA设计滤波器

这里的流程跟我上一篇博客,FPGA/Verilog 设计FIR滤波器 ^[2]^ 是相似的,这里不多说,给出一个滤波器的源码:

Module filter_hd_e( //clock and reset input CLK_50M,RST_N, //filter in out input signed [15:0] data_in_hd_e, output signed [19:0] hd_out_e);localparam COEFF1,COEFF3,COEFF5,COEFF7; //过长省略wire signed [19:0] add_result;reg signed [15:0] data_shift[3:0];wire signed [23:0] mul_data[3:0]; add_final add_inst( .clock (CLK_50M), .data0x (mul_data[0][23:8]), .data1x (mul_data[1][23:8]), .data2x (mul_data[2][23:8]), .data3x (mul_data[3][23:8]), .result (add_result));always @ (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N)begin data_shift[0] <= 0; data_shift[1] <= 0; data_shift[2] <= 0; data_shift[3] <= 0; end else begin data_shift[3] <= data_shift[2]; data_shift[2] <= data_shift[1]; data_shift[1] <= data_shift[0]; data_shift[0] <= data_in_hd_e; end endmult mult_inst_1 ( data_shift[0] *COEFF1 //下同mult mult_inst_2 (mult mult_inst_3 (mult mult_inst_4 ( //过长省略assign hd_out_e = add_result;endmodule

大家对应这框图可能会说我怎么没有把滤波器系数给翻转,这个问题的话,大家可以看看那个获取系数的函数描述,他本来就帮我们翻转了.

加法器就算了,过于简单

matlab产生激励

这个在上一篇博客中也有提及,但是这次我们不是直接产生mif文件,而是选择在仿真的时候读入数据,所以代码就是:

depth = 1024;width = 16;x = 0 : 2*pi/(depth-1) :2*pi;y = sin(x)+sin(8*x);y = (y/2) * 32768;%将信号放大32768倍y(360:400) = 32767; //为了小波变换的戏剧性效果设置b = signed2unsigned(y,width);fid = fopen('sinx.txt','wt'); %将信号写入一个.txt文件中for num=0 : (depth-1) fprintf(fid,'%x\\n',round(b(num+1)));endfclose(fid);

仿真结果

用tb读入数据:

integer i; //数组坐标reg signed [15:0] stimulus[1:data_num]; //数组形式存储读出的数据initial begin RST_N = 1'b1; #60 RST_N = 1'b0; #60 RST_N = 1'b1;  $readmemh("sinx.txt", stimulus); //将txt文件中的数据存储在数组中 i = 0; repeat(data_num) begin //重复读取数组中的数据 i = i + 1; data_in = stimulus[i]; #PERIOD; //每个时钟读取一次 end $stop;end

那么又到了紧张刺激的,看波形环节: matlab计算:

fpga计算: